Хорошо, давайте рассмотрим шаги для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка на примере задачи:
$$ y"=cos2x
$$
$$ y(0)=1 $$
$$ y'(0)=2 $$
Однородное уравнение для данного примера:
$$ y'' = 0 $$
Решим характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения: r^2 = 0
Корни характеристического уравнения: \[ r_1 = 0, \; r_2 = 0 \]
Для двух одинаковых корней общее решение имеет вид: \[ y_h = C_1 x + C_2 \]
Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения: \[ y'' = \cos 2x \]
Интегрируем \( y'' \) дважды.
Первое интегрирование: \[ y' = \int \cos 2x \, dx \]
Используем формулу интегрирования: \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x \]
Добавляем константу интегрирования: \[ y' = \frac{1}{2} \sin 2x + C_1 \]
Теперь интегрируем ещё раз: \[ y = \int \left( \frac{1}{2} \sin 2x + C_1 \right) dx \]
Интегрируем каждое слагаемое отдельно: \[ y = \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx + \int C_1 \, dx \]
Используем формулу интегрирования: \[ \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x \]
Таким образом: \[ \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) = -\frac{1}{4} \cos 2x \]
Теперь добавляем интеграл от \( C_1 \): \[ \int C_1 \, dx = C_1 x \]